একটি গ্র্যাড স্টুডেন্টস সাইড প্রজেক্ট একটি প্রাইম নম্বর অনুমান প্রমাণ করে

পরমাণু হিসাবে পাটিগণিতের ক্ষেত্রে, মৌলিক সংখ্যা সর্বদাই সংখ্যারেখায় একটি বিশেষ স্থান দখল করে আছে। এখন, অক্সফোর্ড বিশ্ববিদ্যালয়ের 26-বছর-বয়সী স্নাতক ছাত্র জ্যারেড ডুকার লিচম্যান, একটি সুপরিচিত অনুমান সমাধান করেছেন, যা প্রাইমগুলিকে বিশেষ করে তোলে – এবং কিছু অর্থে এমনকি সর্বোত্তম করে তোলে তার আরেকটি দিক প্রতিষ্ঠা করেছে। “এটি আপনাকে দেখতে একটি বৃহত্তর প্রেক্ষাপট দেয় যে কোন উপায়ে মৌলিকগুলি অনন্য, এবং কোন উপায়ে তারা সংখ্যার সেটের বৃহত্তর মহাবিশ্বের সাথে সম্পর্কিত,” তিনি বলেছিলেন।

অনুমানটি আদিম সেটগুলির সাথে সম্পর্কিত – ক্রম যেখানে কোন সংখ্যা অন্য কোনটিকে ভাগ করে না। যেহেতু প্রতিটি মৌলিক সংখ্যাকে শুধুমাত্র 1 এবং নিজে থেকে ভাগ করা যায়, তাই সমস্ত মৌলিক সংখ্যার সেট একটি আদিম সেটের একটি উদাহরণ। ঠিক দুই বা তিন বা 100 মৌলিক গুণনীয়ক আছে এমন সমস্ত সংখ্যার সেটও তাই।

1930-এর দশকে গণিতবিদ পল এরডস দ্বারা আদিম সেটগুলি চালু করা হয়েছিল। সেই সময়ে, তারা কেবল একটি হাতিয়ার ছিল যা তার জন্য প্রাচীন গ্রিসের শিকড় সহ একটি নির্দিষ্ট শ্রেণীর সংখ্যা (যাকে নিখুঁত সংখ্যা বলা হয়) সম্পর্কে কিছু প্রমাণ করা সহজ করে দিয়েছিল। কিন্তু তারা দ্রুত তাদের নিজস্ব আগ্রহের বিষয় হয়ে ওঠে- যেগুলো এরদস তার কর্মজীবনে বারবার ফিরে আসবে।

এর কারণ, যদিও তাদের সংজ্ঞা যথেষ্ট সহজবোধ্য, আদিম সেটগুলি সত্যিই অদ্ভুত জন্তুতে পরিণত হয়েছিল। একটি আদিম সেট কত বড় হতে পারে তা জিজ্ঞাসা করে সেই অদ্ভুততা ধরা যেতে পারে। 1,000 পর্যন্ত সমস্ত পূর্ণসংখ্যার সেট বিবেচনা করুন। 501 থেকে 1,000 পর্যন্ত সমস্ত সংখ্যা—সেটের অর্ধেক—একটি আদিম সেট তৈরি করে, কারণ কোনো সংখ্যাই অন্য কোনো দ্বারা বিভাজ্য নয়। এইভাবে, আদিম সেট সংখ্যা লাইনের একটি মোটা অংশ গঠিত হতে পারে। কিন্তু অন্যান্য আদিম সেটগুলি, যেমন সমস্ত প্রাইমগুলির ক্রম, অবিশ্বাস্যভাবে বিক্ষিপ্ত। “এটি আপনাকে বলে যে আদিম সেটগুলি সত্যিই একটি খুব বিস্তৃত শ্রেণী যা সরাসরি আপনার হাত পেতে কঠিন,” লিচম্যান বলেছিলেন।

সেটের আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্যগুলি ক্যাপচার করতে, গণিতবিদরা আকারের বিভিন্ন ধারণা অধ্যয়ন করেন। উদাহরণস্বরূপ, একটি সেটে কতগুলি সংখ্যা রয়েছে তা গণনা করার পরিবর্তে, তারা নিম্নলিখিতগুলি করতে পারে: প্রতিটি সংখ্যার জন্য n সেটে, এক্সপ্রেশন 1/(এ প্লাগ করুনn লগ n), তারপর সমস্ত ফলাফল যোগ করুন। সেটের আকার {2, 3, 55}, উদাহরণস্বরূপ, 1/(2 লগ 2) + 1/(3 লগ 3) + 1/(55 লগ 55) হয়ে যায়।

Erdős খুঁজে পেয়েছেন যে কোনো আদিম সেটের জন্য, অসীম সমেত, সেই যোগফল – “Erdős যোগফল” – সর্বদা সসীম। একটি আদিম সেট দেখতে কেমন হতে পারে তা কোন ব্যাপার না, এর Erdős যোগফল সবসময় কিছু সংখ্যার কম বা সমান হবে। এবং তাই যখন এই যোগফলটি “অন্তত এটির মুখে, সম্পূর্ণরূপে বিদেশী এবং অস্পষ্ট দেখায়,” লিচটম্যান বলেছিলেন, এটি কিছু উপায়ে “আদিম সেটের কিছু বিশৃঙ্খলা নিয়ন্ত্রণ করে”, এটি ব্যবহার করার জন্য সঠিক পরিমাপের স্টিক তৈরি করে।

এই লাঠিটি হাতে নিয়ে, একটি স্বাভাবিক পরবর্তী প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করা হল যে সর্বোচ্চ সম্ভাব্য Erdős যোগফল কত হতে পারে। Erdős অনুমান করেছিলেন যে এটি মৌলিক সংখ্যার জন্য একটি হবে, যা প্রায় 1.64 এ আসে। এই লেন্সের মাধ্যমে, প্রাইমগুলি এক ধরণের চরম গঠন করে।

জ্যারেড ডুকার লিচম্যান সমস্যাটিকে তার “গত চার বছর ধরে অবিরাম সহচর” বলে অভিহিত করেছেন।

ছবি: রুয়ি ওয়াং/কোয়ান্টা ম্যাগাজিন